Рубрикатор:
Кибернетика
Научная публикация

Непостижимая эффективность математики", идеи Гёделя и "Управленческая парадигма Мира"

Германия
Май 11, 2020


    Заслуживает внимания вывод из совместного рассмотрения "Закона 100%-эффективности математики", теоремы Гёделя о неполноте и "Управленческой парадигмы Мира (УПМ)".
Остановимся кратко на первых двух рубриках.
     О чём в них речь?
     Для ответа начнём со следующего высказывания из [1]: "Довольно чётко была понята роль математики как способа описания и познания в физике: чистая математика и физика становятся связанными всё теснее, хотя их методы и остаются различными. Можно сказать, что математик играет в игру, в которой сам изобретает правила, в то время как физик играет в игру, правила которой предлагает Природа. Однако с течением времени становится всё более очевидным, что правила, которые математик находит интересными, совпадают с теми, которые избрала Природа. Трудно предсказать, каков будет результат всего этого. Возможно, оба предмета в конце концов сольются и каждая область чистой математики будет иметь физические приложения, причём их важность в физике станет пропорциональна их интересности в математике". "Создаётся впечатление, что это пророчество Дирака начинает сбываться [1] ...".
     Многие выдающиеся учёные и, в первую очередь, физики, особенно после открытия квантовой механики, отмечали поразительную эффективность математики. Приводится такая иллюстрация: "... несмотря на то, что никто никогда ранее не подозревал о существовании квантовой реальности, проявившейся при изучении атомов, в математике уже существовали, т.е. были открыты и в значительной степени изучены структуры, которые с большой степенью точности описывали неожиданно открытую "квантовую" реальность" [1].
     Приведённое наблюдение далеко не единично.
     Восхищение, испытываемое учёными перед этим изумительным и неожиданным по общности природным явлением, дали основание Е.Вигнеру в своей знаковой книге "Этюды о симметрии" [2] говорить о "сверхестественной" и "непостижимой" эффективности математики.
     Стоит ещё отметить, что среди многочисленных высказываний о самой математике встречаются и довольно "родственные" по смыслу к "Закону 100%-й эффективности математики", высказывания, которые являются как бы предвосхищением данного закона.
     Например: "Математика - это искусство называть разные вещи одним и тем же именем ... и, обратно, в одной и той же вещи видеть много разных вещей и называть их разными именами" [1], и другие высказывания.
     Сложившаяся современная формулировка принципа или "Закона 100%-й эффективности математики" гласит:
"Для любой реальности (естественной или искусственной) существуют условия её наблюдения и точно определённая математическая структура, которая описывает эту реальность с любой наперёд заданной конечной точностью. Обратно, для любой точно определённой математической структуры существует (не запрещена) реальность (естественная или искусственная) вместе с условиями её наблюдения, которая описывается этой структурой" [1].
    Как нетрудно видеть, этот закон фактически содержит в себе принцип познаваемости (!) любых реальных структур [1]: исследуя математическую структуру, описывающую реальную, мы тем самым познаём и последнюю.
     Как и управленческая парадигма Мира, закон 100%-й эффективности математики не имеет исключений.
Этот закон даёт нам многое. В частности, опираясь на его абсолютность, мы можем быть уверенными в двух вещах: 1) какими бы математическими структурами и их симметриями мы не занимались - это не оторванные от объективного мира занятия: всегда существуют (могут существовать) реальности, описываемые этой математикой, и 2) сколь бы сложную реальную структуру мы не изучали, математическое описание которой на сегодняшний день отсутствует, мы знаем, что таковое существует.
     Обратимся теперь к другому направлению - теореме К.Гёделя о неполноте.
    "К.Гёдель доказал, что любая достаточно обширная теория, вытекающая по определённым правилам математической логики из некоторой системы аксиом, всегда не полна; это означает, что в терминах такой теории можно сформулировать предложение, справедливость или ложность которого нельзя доказать в рамках этой теории, т.е. пользуясь только исходными аксиомами. Эту справедливость или ложность можно принять в качестве добавочной аксиомы, присоединив которую к исходным, можно построить более детализированную теорию, которая, однако, будет опять неполной, и т.д. Формальная непротиворечивость достаточно обширной теории также не может быть доказана в рамках этой теории" [3].
     Если попытаться выразить суть этой теоремы одним словом, то это - открытость. Открытость всякой неполной системы аксиом для пополнения.
    Таким образом, перед нами бесконечно ветвящееся дерево аксиоматических систем. Каждая конкретная траектория в нём означает некоторую насыщенную математическую структуру (например, формализм какой-либо геометрии или др.), качественно отличающуюся от других таких же. Но по закону 100%-й эффективности математики существует (или может существовать, не запрещена) и реальная структура, описываемая выбранной указанным образом математической структурой.
    Напомним теперь, что "УПМ даёт новую возможность посмотреть на "Законы Природы" ... как на объект управления и искусственного конструирования, на возможность искусственно менять и устанавливать новые (т.е. ненаблюдаемые ранее - авт.) "Законы Природы" ...
     Управлять законом - это значит устанавливать закон произвольно, возможно из какого-то определенного класса законов" [1].
    Аргументация этих утверждений, соответстввующие теоретические вопросы и многочисленные примеры содержаться в [1,4-6].
     Одним из следствий приведенного объединенного рассмотрения является принципиальная возможность для нас самих эти "умозрительные" структуры, не запрещенные "Законом 100%-эффективности математики", вытекающие из идей Гёделя и опирающиеся на утверждения УПМ, т.е. - целые Миры! - фактически создавать. Таких различающихся, но разрешённых к созданию Миров может быть бесконечное (счётное) множество.
     Но реально эта возможность, как ясно, относится, конечно же, к отдаленному будущему и сегодня выглядит фантастически. Однако, с принципиальной стороны или, по крайней мере, с позиций современных знаний,  ничего неосуществимого в ней нет.

     Примечания:
1. А.В.Бабичев, А.Г.Бутковский, Сеппо Похьолайнен.  К единой геометрической теории управления. - М.: Наука, 2001
2.   Е.Вигнер.  Этюды о симметрии.  М.: "Мир", 1971
3. И.И.Блехман, А.Д.Мышкис, Я.Г.Пановко. Механика и прикладная математика. Логика и особенности приложений математики. - М.: Наука, 1983
4.  О.О.Фейгин, О.И.Золотов, Л.М.Пустыльников. Кибернетика физики. - СПб.: СПбГУТ, 2014
5.  Л.М.Пустыльников. Кибернетическая точка зрения на законы Природы. - СПб.: Russika.Ru, 2020
6.  О.И.Золотов, Л.М.Пустыльников, Ю.В.Даринский, О.О.Фейгин. От управления состоянием к управлению структурой. - СПб.: СПбГУТ, 2019