Первые интегралы систем обыкновенных дифференциальных уравнений разрешенных относительно первой производной оцениваются с большим трудом. Предлагается оценка первого интеграла. Для этого правую часть системы дифференциальных уравнений представляют в виде начального условия плюс первая производная, умноженная на приращение времени, и решают нелинейную систему уравнений относительно первой производной. В результате решения системы нелинейных уравнений получается его точное решение. Получается система нелинейных уравнения относительно первой производной, решаю которое получается одно из решений непрерывных ветвей решения. Можно продолжить аппроксимацию, продифференцировав уравнение по времени и получив неявную схему решения для первой и второй производной по времени. Причем, так как производные зависят от времени, и не являются константами, возможно получение точного решения в виде полинома малой степени.

Аналитическая функция должна удовлетворять уравнении Лапласа. Это накладывает ограничения на ее значения в виде ряда. Благодаря решению, выявилась особенность ряда аналитической функции, разложение решения удовлетворяет уравнению Лапласа и определяется комплексно-сопряженная функция, но ряд построен не по целым степеням, т.е. бесконечная производная рвется. Имеется особенность у аналитической функции, что возможно см. [1] формула (98) глава 1.

Возникла идея при комплексной фазе использовать физический смысл комплексного решения для фазы, получается мнимая экспонента, которая имеет конечное количество точек стационарной фазы.

Существуют действительные решения дифференциальных уравнений. Но в случае нарушения условий существования и единственности задачи Коши возникают конечные комплексные решения. Они определяются из первых интегралов дифференциальных уравнений.

Показана тождественность распространенных оптимальных методов сглаживания эмпирических данных с типовыми явными и неявными конечно-разностными аппроксимациями простейшего параболического уравнения. Указана эффективность применения сетки Либмана для соответствующих алгоритмов сглаживания.

Рассмотрены все классы векторных полей и их главные свойства. Дано решение задачи оптимизации, поставленной А.Г.Бутковским.

При решении уравнений Навье-Стокса возникает система нелинейных алгебраических уравнений второго порядка. Решение этой системы нелинейных уравнений надо производить в комплексной плоскости, т.е. свести к квадратному уравнению. Предложена схема такого решения. Если система имеет N уравнений при комплексном решении в собственных значениях и каждое уравнение 2 порядка, то имеется 2N решений, некоторые из которых действительные ламинарные, неустойчивые. Причем дополнительные решения к полученным в собственных значениях, могут иметь отличное от решения в собственных значениях критическое число Рейнольдса. Устойчивое ламинарное решение единственное. Задача обобщается на систему нелинейных уравнений четвертой степени.

В статье [1] получено решение системы квазилинейных уравнений в частных производных с первой производной по времени. Но использовался метод Галеркина, т.е. производилось усреднение по пространству, образовалась система нелинейных дифференциальных уравнений, для которой находились координаты положения равновесия и получалось стационарное решение. В данной статье решение ищется в виде спектральной функции, умноженной на фазу плоской волны. При этом производится усреднение по пространству и времени, коэффициенты, зависящие от координат и времени, образуют спектральную функцию, если имеется произведение двух решений, то получится спектр удвоенной частоты, если произведение трех решений, то получится спектр утроенной частоты. Далее неизвестный спектр решения считается из алгебраического уравнения. Зная спектр, можно определить и пространственно-временную функцию. Независимыми является два волновых числа и частота. Для каждого решения определяются граничные условия, из зависимости для каждой функции своей связь между волновыми числами. Предложенным методом удалось получить конечную формулу для стационарного решения уравнения Навье-Стокса.

Принцип 100%-эффективности математики содержит принцип познаваемости любой реальности с помощью соответствующих математических структур

Если существуют максимальные или минимальные по модулю корни полинома, то их можно найти. Причем минимальных и максимальных по модулю корней может быть несколько. Их можно определить из полинома 1,2,3,4 степени, имеющих формулу для решения в радикалах. Наибольший и наименьший корень имеют самое точное решение, точность определения корня снижается по мере удаления от максимума или минимума модуля корня. Чем выше степень аппроксимации полинома, тем относительная ошибка меньше. Идеи, изложенные в этой статье навеяны талантливым ученым Богатушиным И.Я. рано ушедшим из жизни.

Резонатор в случае произвольной полости рассчитать невозможно. Предлагается метод расчета резонатора для произвольного объема. Собственных частот имеется счетное количество. Данная задача сводится к задаче об обобщенной скорости, для которой справедливо условие прилипания или граничное условие Дирихле.

Решение нелинейных дифференциальных уравнений в частных производных сложная задача. Возникают бесконечности решения. Для того, чтобы управлять этими бесконечностями и предназначена данная статья. Рассматривая решения частных нелинейных дифференциальных уравнений в частных производных, описанных на сайте eqworld.ipmnet.ru замечаем, что при определенных условиях они содержат комплексное решение и содержат множество констант интегрирования, что приводит к множеству первых интегралов энергии. Как и всякая нелинейная задача решение нелинейных дифференциальных уравнений в частных производных содержит комплексное решение. Комплексное решение позволяет свести бесконечное действительное решение к конечному комплексному. Мнимая часть комплексного числа означает среднеквадратичное отклонение, а действительная часть среднее решение. Поэтому нелинейные комплексные решения являются вероятностными и описывают квантовые эффекты. Так значений энергии при решении этих дифференциальных уравнений имеется счетное количество. Так вероятностное уравнение Шредингера для связанного состояния сводится к комплексному, турбулентному решению уравнения Навье-Стокса. И то, и другое решение является вероятностным. Но решение уравнения Навье-Стокса может быть комплексным, т.е. определяет действительное среднее и мнимое среднеквадратичное отклонение, но не зависит от волновой функции, т.е. решение не потенциально. Возникает вопрос, имеется ли турбулентное решение нелинейного уравнения не комплексное, т.е. не вероятностное. Численный счет и простое рассуждение о наличии полюса показывает, что не комплексное решение стремится к бесконечности.

Для упрощения оператора Лапласа произвольного вида к виду декартова оператора Лапласа нужно решить нелинейное уравнение в частных производных при зафиксированных переменных, кроме одной, которая и определяет вид преобразования и сводит задачу к обыкновенному дифференциальному уравнению. Получается сумма 3 функций в случае трехмерного пространства, причем каждая функция зависит от одного аргумента и определяющая угол, равный сумме интегралов от трех одинаковых определяемых функций, в которых два аргумента зафиксированы, а от третьего аргумента берется интеграл. В результате частная производная от суммы трех функций определяет одинаковую определяемую из обыкновенного дифференциального уравнения функцию, в которой два аргумента зафиксированы, а третий свободен. Это решение не периодическое, хотя представлено с помощью действительной экспоненты. Но если аргументы этих определяемых функций периодические, то получим периодическую по этим аргументам функцию. Если использовать мнимый период, то получатся комплексные аргументы, нелинейно зависящие от коэффициентов мнимого периода. Это решение описывает две проекции спина частицы, но в силу сложной зависимости от коэффициентов мнимого периода описывает получающийся фон. Первоначально идея работы изложена в [1].

Сходимость рядов по сферическим функциям плохая из-за разного значения косинуса на концах изменения при вычислении скалярного произведения. Если ввести отрицательный радиус на второй части изменения меридионального угла, то скалярное произведение можно обобщить на весь период угла, и тогда сферические функции будут периодическими. Только надо учитывать, когда радиус положителен, а когда отрицателен. Формула для оператора Лапласа содержит квадрат радиуса. Формулы остаются неизменными при таком преобразовании и сходимость ряда не улучшается. Но перейдя в комплексное пространство удается построить периодические углы, однозначно связанные с декартовыми координатами. Вычислен метрический тензор и его определитель. Вычисления производились в двух случаях, с комплексно сопряженным произведением и без комплексного сопряжения. Удалось определить оператор проекции момента импульса для двух углов в двух случаях. с комплексно сопряженным произведением и без комплексного сопряжения. Построен оператор Лапласа в обоих случаях. Получилось альтернативное уравнение для двух случаев. Но осмыслить полученные результаты пока не удалось. Получились другие квантовые числа.

Предложена система нелинейных дифференциальных уравнений в частных производных с переменными коэффициентами, зависящими также от времени, обобщающая уравнение Навье-Стокса и описывающая развитие системы. Она детализирована для развития каждого класса живых организмов. Системы нелинейных уравнений в частных производных сводятся к системе нелинейных уравнений с счетным количеством неизвестных и уравнений. С помощью редукции удается свести их к конечной системе обыкновенных дифференциальных уравнений. В статье исследуются уравнения с частной производной второго порядка как по времени, так и по координате. Для этого нелинейного уравнения и строилось решение. Удалось построить общую формулу решения относительно функции времени с помощью координат положения равновесия. Решение полученных дифференциальных уравнений стремится к координатам положения равновесия. Это означает, что на бесконечности времени система стремится к постоянной комплексной скорости, состоящей из постоянного поступательного движения и постоянного колебания или вращения. Движение планет солнечной системы реализуется с постоянной комплексной скоростью. Но к счастью существуют неавтономные системы нелинейных дифференциальных уравнений, которые имеют различающиеся частные решения. Частным решением автономной системы обыкновенных дифференциальных уравнений являются координаты положения равновесия. Но не автономные системы дифференциальных уравнений стремятся к автономным, и тогда реализуется движение с постоянной скоростью. Этот механизм объясняет смерть человека. Свойство не автономности реализуется по экспоненциальному закону затухания. Надо подумать, как уменьшить затухание, тогда система большее время будет не автономной. Затухание связано с трением организма, надо уменьшать вязкость организма.